考研数学线性代数，考研数学线性代数谁讲的好
这是为一本书写的前言，简单介绍了与物理密切相关的基础数学知识，主要是微积分与线性代数的篇章。
那本书没能出版，在此把部分内容奉上。
（节选三）
复数之美 
如果要评选最美的数学公式，上面的公式绝对可以上榜，它就是欧拉公式，联系了数学中的五个重要数字：
0、1、π、e、i
一些读者可能会对e和i感到陌生，e是自然常数，约等于2.71828，它在描述事物的扩张或衰减的时候非常有用。
当n趋近于无穷大时，下面这个式子就是自然常数e。
i则是上面五个数字中最特殊的数字，前面说过每一个实数都对应着数轴上的一个点。
0、1、π、e都可以在数轴上找到对应的点，但是i在数轴上没有对应的点，因为它根本就不是实数，而是虚数。
虚数中的i，就相当于实数中的1，被称为虚数单位，有着奇怪的运算法则：
我们之前说的数轴其实是实数轴，相应的还有虚数轴，所以i其实对应着虚数轴上的一个点，至于虚数轴上的其它的点，则是i的倍数。
其实把每一个实数都乘以i就会得到虚数轴上的所有虚数，比如2i、3.5i、-1.7i。
如果把实数轴和虚数轴垂直放置，就会形成复平面，复平面上的每一个点都对应着一个复数，可以看成是由实数和虚数复合而成的数。
复数可以表示成2+3i这样的形式，在这个例子里，2和3分别是复数的实部和虚部。复数的加减乘除，可以简单地按照实数的加减乘除来处理，只需要注意i2= -1，比如：
(2+3i)+(4+6i)= 6+9i
(2+3i) ×(4+6i)= -10+24i
至于为何要提出虚数和复数，这要从一元三次方程的求解开始讨论，本书不再展开说明，有兴趣的读者可以参阅书籍《云端脚下：从一元二次方程到规范场论》。
至于复数的用处，最简单的就是它可以把泰勒级数推广到罗朗级数，并且统一前面提到的罗朗级数和傅里叶级数，在复数的视角下，它们是同一种级数。
另外，复数在量子力学中随处可见，同时也是自动控制技术、信号处理的基础。
四元数
复数确实比实数更加复杂，但它还不是最复杂的数，在复数之后还有四元数，有i、j、k这三个特殊的“数”，它们满足的关系是：
对于大部分读者来说，上面的式子中ij= -ji应该是最奇特的式子之一，它违反了乘法交换律。
其实在现代数学和物理学中经常会出现这种情况，因为这些“乘法”并不是我们熟悉的“多个加法的简化”。
四元数的具体例子是5+8i+4j+7k、7+3i+2j+1k，由四项组成，所以叫四元数，所以复数也可以被称为二元数。
四元数可以看成是由两部分组成的，以5+8i+4j+7k为例子，5被称为标量，8i+4j+7k被称为矢量。
四元数的矢量部分用于描述物体的旋转，这目前是四元数最大的用途。
每当乘以i（或j、k），就相当于某个物体绕着某个转轴旋转了90度，乘以i2就相当于连续旋转了2个90度，也就是180度，方向与原先相反，这也就是的意义。
上面违反乘法交换律的式子也是由于这种旋转造成的，具体的细节需要读者具备高超的空间想象能力，本书不再讨论。
矢量
四元数的矢量部分可以被分离出来，形成一门单独的学问：矢量（也叫向量）。
这种矢量和四元数的矢量部分并不相同，它不是用来描述旋转的，它可以被简单理解成“有大小和方向的量”。
可以用8i+4j+7k来描述一个矢量，也可以用（8，4，7）来描述这个矢量。我们生活的空间是三维空间，有三个维度，可以用长方体来理解这三个维度：长、宽、高。
取一个长方体的三条棱，这三条棱分别代表长方体的长、宽、高，将这三条棱的线段无限延长得到三条直线，让这三条直线交汇于一点，如果这三条直线是三个数轴，并且交汇的点在三个数轴上对应的数都是0，我们就得到了三维直角坐标系。
这三个数轴被叫做坐标轴，坐标轴的名字通常被依次命名为x轴、y轴、z轴，交汇的点被称为坐标原点。
对于8i+4j+7k这样的矢量，i表示x轴的方向、j表示y轴的方向、k表示z轴的方向。
可以把这个矢量像下图一样放到三维直角坐标系中，这个矢量从坐标原点指向另一个点，另一个点在x轴、y轴、z轴的投影对应的数分别是8、4、7，是这个点的坐标，也是这个矢量的坐标。
（8，4，7）是一种更加简洁的表示方法，只需用括号里的三个数就能表示三维空间中的一个矢量。
类似地，（8，4）可以表示二维空间中的一个矢量，（8，4，7，5）可以表示四维空间中的一个矢量（这里说的四维空间是数学中的概念，与相对论中的四维时空不一样），（8，4，7，5，9）可以表示五维空间中的一个矢量，……
按这种方法，我们可以表示n维空间的矢量。大部分读者可能觉得高维空间出现得太草率，但其实高维空间本身就不是多么难以理解的概念。
当然，如果你非要直观地想象出高维空间，那确实很困难，可以说是几乎不可能的事。
跨越境界的“壁垒”
数学最基本的思想就是“以数解形，以形助数”，“数”是抽象的，“形”是直观的。
当我们最开始理解某个数学概念时，往往需要直观的“形”去辅助，然后我们要理解抽象的“数”与直观的“形”之间的联系。
当我们明白这些联系之后，就可以完全借助抽象的“数”去看待数学问题，抽象的“数”变成了直观的“数”，然后我们就可以用直观的“数”去推广某个数学概念。
推广之后的“数”依然是直观的“数”，但是对应的“形”已经成了抽象的“形”，这意味着我们的思维水平已经达到了直观的形象思维望尘莫及的地步，我们成功跨越了数学境界的“壁垒”。
达到新的境界，就要使用新的思维，用别人看来抽象（在你看来直观）的“数”去理解数学概念。
线性代数
但愿你已经能接受用坐标去表示n维空间的矢量的方法，如果你真的做到了，那么我们终于可以欣赏线性代数了。
在本章的最开头，我们提到了直线，直线上有无穷多的点，或者说直线是由无穷多个点组成的。
- 一条直线就是一个一维空间，也可以说一维空间是由无穷多个点组成的。
- 一个平面就是一个二维空间，平面上同样有无穷多的点，所以二维空间也是由无穷多个点组成的。
以此类推，三维空间、四维空间、五维空间、六维空间、……、n维空间都是由无穷多个点组成的。
真正重要的是：如何表示不同空间中的无穷多的点？
- 对于一维空间，答案是数轴，一维空间中的每一个点都对应着一个实数，一个实数就表示一个点。
- 对于二维空间，答案是两个数轴（二维直角坐标系），前面提到的二维矢量的例子（8，4）同样可以表示二维空间中的一个点，所以两个实数就可以表示二维空间中的所有点。
以此类推，n个实数就可以表示n维空间中的所有点。
不过这里还有一个小问题，矢量和点的表示方法是一样的，还需要区分矢量和点吗？
答案是不需要。
前面只是说可以把矢量简单理解成“有大小和方向的量”，这并不是说矢量就是“有大小和方向的量”！
线性代数中的矢量其实就是点，我们之前提到的一维空间、二维空间、……、n维空间其实都是线性空间，我们可以说无穷多个点组成了n维空间，也可以说无穷多个矢量组成了n维空间。
用偏向于线性代数的话说就是：无穷多个矢量组成了线性空间，所以线性空间也被称为矢量空间、向量空间。
线性代数讨论的是普遍的n维线性空间，在数学中，任意维度的线性空间都没有特别之处，所以高维空间在数学中没有任何神秘感可言。
对于初学者来说这确实是抽象的内容，或许直接使用高维空间处理具体的数学问题会更容易消除初学者对高维空间的神秘感，这同时也可以解答困扰很多人的问题：
高维空间到底有什么用？
（详情见下篇文章）
考研数学线性代数(考研数学线性代数谁讲的好)